初值问题:总纲

2024.11.11

考虑无边界的波方程问题,此时无需考虑边值条件,化为

{Lu=utta2Δu=f(x,t),(x,t)Rn×R+,u(x,0)=φ(x),xRn,ut(x,0)=ψ(x),xRn.

因为我懒得敲,所以把上面的问题记作 WaveCauchy(f,φ,ψ)

由于方程是线性的,求解 WaveCauchy(f,φ,ψ) 的方法是:考虑三个方程

WaveCauchy(0,φ,0),WaveCauchy(0,0,ψ),WaveCauchy(f,0,0)

由线性叠加原理,这三个方程的解即是方程 WaveCauchy(f,φ,ψ) 的解.

下面的定理指出,只需求解第二个方程即可.

用第二个方程的解找第一、三个方程的解

记号

我们用 M(x,t;ψ) 表示方程 WaveCauchy(0,0,ψ) 的一个解.

找第一个方程的解

首先求解第一个方程:

(1){Lu=utta2Δu=0,(x,t)Rn×R+,u(x,0)=φ(x),xRn,ut(x,0)=0,xRn.

u1=u1(x,t) 为其一解,令 U1(x,t)=0tu1(x,τ)dτ,则由微分算子可交换得

(1’){LU1=0,(x,t)Rn×R+,U1t(x,0)=φ,xRn

当然这里没有要求 U1(x) ,从而如果我们令 U1(x,0)=0,这就化为了第二个方程的形式,立得 (1) 的一个形式解是

U1(x,t)=M(x,y;φ)u1(x,t)=tM(x,t;φ).

下面证明这确实是 (1) 的一个解.前两个条件可以由微分算子可交换得证.对第三条,由假设的光滑性,有

LM(x,0;φ)=limt0+LM(x,t;φ)=0

从而

tu1(x,0)=t2M(x,0;φ)=a2ΔM(x,0;φ)

由于 xRnt=0 时对 M 而言有 M0,从而 ΔM=0 (对固定 t 来说),从而第三条方程也满足.

找第三个方程的解

现求解第三个方程

(3){Lu=utta2Δu=f(x,t),(x,t)Rn×R+,u(x,0)=0,xRn,ut(x,0)=0,xRn.

我们不妨把第一条拿出来看:

Lu=utta2Δu=f(x,t).

这是一个非齐次方程,容易想到解的形式应当类似于一个齐次方程加一个特解的样子——毕竟 L 可是一个线性算子.回忆我们在用常数变易法解齐次非线性常系数微分方程的时候,非齐次项出现的情况往往是这样的:

φ(x)=C(x)ϕ(x)φ(x)=C(x)ϕ(x)+C(x)ϕ(x)ϕ+aϕ=0Cϕ+Cϕ+aCϕ=Cϕφ+aφ=fCϕ=f.

可以抽象地理解为:对齐次方程的解做了一些操作,使得可以借助齐次方程消去多余项的同时,在操作中引入的东西让方程右边留下了非齐次项.齐次方程用的肯定是 M(x,t,f) 等某种东西了,可是怎么变形呢?

一个火眼金睛的观察是:考虑 v(x,t,τ):Rn×(0,+)×(0,+)R 是下面的方程的解:

(3’){Lv=vtta2Δv=0,(x,t)Rn×R+,v(x,τ,τ)=0,xRn,vt(x,τ,τ)=f(x,τ),xRn.

该方程不过是第二型方程的平移,因此令 u~(x,t)=v(x,t+τ,τ),代入方程得

(3’){Lu~tta2Δu~=0,(x,t)Rn×R+,u~(x,0)=0,xRn,u~t(x,0)=f(x,τ),xRn.

由第二型方程, u~(x,t)=M(x,t,f(,τ)),故 v(x,t,τ)=u~(x,tτ)=M(x,tτ,f(,τ)) .另一方面,由于足够光滑的假设,v(x,t,τ) 应是关于 τ C2 变化的,从而是方程的解.

再令 V(x,t)=0tv(x,t,τ)dτ,首先有 V|t=0=0. 又 两边对 t 求导,我们有

Vt=v(x,t,t)+0tvt(x,t,τ)dτ=(3.2)0tvt(x,t,τ)dτ.

首先我们就有 Vt|t=0=0. 再求一次导,有

2Vt2=vt(x,t,t)+0tvtt(x,t,τ)dτ=(3.2)(3.1)f(x,t)+0tΔv(x,t,τ)dτ=f(x,t)+ΔV.

这就说明 V 满足方程:

(3){LV=Vtta2ΔV=f(x,t),(x,t)Rn×R+,V(x,0)=0,xRn,Vt(x,0)=0,xRn.

从而可取 u3=V .这就是一解.

法二:Duhamel 原理(齐次化原理)

我们从物理的角度去思考.三条方程实际上对应于

(3){Lu=utta2Δu=f(x,t),(x,t)Rn×R+,(受力)u(x,0)=0,xRn,(初位移)ut(x,0)=0,xRn.(初速度)

考虑一个时间微元 [τ,τ+δt],该时间微元中各质点受到的冲量为

δ(mv)=ftut(x,t)=f(x,t)δt

δt 很小时,可以认为该时间微元内满足方程

(3A’){Lu=utta2Δu=0,(x,t)Rn×R+,(受力)u(x,τ)=0,xRn,τ初位移)ut(x,τ)=f(x,τ)δt,xRn.τ初速度)

这里受力置为 0 是因为 δt 是小量,而二阶导项为更高阶的无穷小.

由于 uδt 无关,方程在一个小量上的解为(由上面说的平移)

δu3(x,t)=M(x,tτ,f(,τ))δt

从而

u3(x,t)=limπ0i=1nM(x,tτi,f(,τ))δt=0tM(x,tτ,f(,τ))dτ.

这种用齐次方程解非齐次方程的方法即 Duhamel 原理.

结论

M(x,t;ψ) 表示方程 WaveCauchy(0,0,ψ) 的解,则方程的解为

u=u1+u2+u3

其中

u1=Mt(x,t;φ),u2=M(x,t;ψ),u3=0tM(x,tτ,f(,tτ))dτ.