2024.11.11
考虑无边界的波方程问题,此时无需考虑边值条件,化为
因为我懒得敲,所以把上面的问题记作 .
由于方程是线性的,求解 的方法是:考虑三个方程
由线性叠加原理,这三个方程的解即是方程 的解.
下面的定理指出,只需求解第二个方程即可.
用第二个方程的解找第一、三个方程的解
我们用 表示方程 的一个解.
找第一个方程的解
首先求解第一个方程:
设 为其一解,令 ,则由微分算子可交换得
当然这里没有要求 ,从而如果我们令 ,这就化为了第二个方程的形式,立得 的一个形式解是
下面证明这确实是 的一个解.前两个条件可以由微分算子可交换得证.对第三条,由假设的光滑性,有
从而
由于 , 时对 而言有 ,从而 (对固定 来说),从而第三条方程也满足.
找第三个方程的解
现求解第三个方程
我们不妨把第一条拿出来看:
这是一个非齐次方程,容易想到解的形式应当类似于一个齐次方程加一个特解的样子——毕竟 可是一个线性算子.回忆我们在用常数变易法解齐次非线性常系数微分方程的时候,非齐次项出现的情况往往是这样的:
可以抽象地理解为:对齐次方程的解做了一些操作,使得可以借助齐次方程消去多余项的同时,在操作中引入的东西让方程右边留下了非齐次项.齐次方程用的肯定是 等某种东西了,可是怎么变形呢?
一个火眼金睛的观察是:考虑 是下面的方程的解:
该方程不过是第二型方程的平移,因此令 ,代入方程得
由第二型方程, ,故 .另一方面,由于足够光滑的假设, 应是关于 变化的,从而是方程的解.
再令 ,首先有 . 又 两边对 求导,我们有
首先我们就有 . 再求一次导,有
这就说明 满足方程:
从而可取 .这就是一解.
法二:Duhamel 原理(齐次化原理)
我们从物理的角度去思考.三条方程实际上对应于
(受力)(初位移)(初速度)考虑一个时间微元 ,该时间微元中各质点受到的冲量为
当 很小时,可以认为该时间微元内满足方程
(受力)(初位移)(初速度)这里受力置为 是因为 是小量,而二阶导项为更高阶的无穷小.
由于 与 无关,方程在一个小量上的解为(由上面说的平移)
从而
这种用齐次方程解非齐次方程的方法即 Duhamel 原理.
结论
用 表示方程 的解,则方程的解为
其中